Erklärungen in Mathematik, Physik und Physikalischer Chemie

C) - Herleitung einer Funktionaldeterminante (zu: Mathematik, Physikalische Chemie)	(19 Seiten)
Schritt-für-Schritt-Erklärung, wie man auf die Struktur einer Funktionaldetermiante kommt. mehr ...
F) - Heisenbergsche Unschärferelation - ihre Bedeutung (zu: Physik, Philosophie) mehr ...	(3 Seiten)
D) - Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung - einfach erklärt (zu: Mathematik)	(25 Seiten)
Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, u.a. in Zufallsexperimente, Gesetze der Wahrscheinlichkeit und den Erwartungswert. mehr ...
A) - Das Differential - einmal anders gedacht (zu: Mathematik, Physik)	(20 Seiten)
Vorstellung eines einheitlichen und anschaulichen Differentialbegriffs. Partielles und totales Differential. Unendlichkeitsvorstellungen. mehr ...
I) - Das gaußsche Wellenpaket: Herleitung und Betrachtung (zu: Mathematik, Physik)	(18 Seiten)
Die mathematische Konstruktion des gaußschen Wellenpakets durch harmonische Wellen und sein zeitlicher Verlauf. mehr ...
G) - Prägnantes Beispiel einer Koordinatentransformation (zu: Mathematik) mehr ...	(3 Seiten)
B) - Der Punkt: nach Euklid und anschaulich (zu: Mathematik, Physik) mehr ...	(4 Seiten)
H) - Superposition und Interferenz von Wellen (zu: Physik)	(21 Seiten)
Von komplexen Wellen zu Wellen am Spalt/Doppelspalt bis hin zu stehenden Wellen und Schwebungen. mehr ...
Je weiter oben sich ein Artikel in der Liste befindet, desto häufiger ist er in der Vergangenheit angeklickt worden, die alphabetische Nummerierung gibt an, in welcher Reihenfolge die Artikel zeitlich entstanden sind, und rote Buchstaben bedeuten, dass diese aufeinander aufbauen, so A) und C), A) und B) oder A) , H) und I).

- Literaturverzeichnis	(1 Seite)
- Glossar, Liste der verwendeten Symbole, Postulate der Quantenmechanik	(8 Seiten)

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	Artikel A: Das Differential - einmal anders gedacht (20 Seiten)

	(Artikel wird zurzeit überarbeitet und ist daher nicht zugänglich.) Das Differential wird in diesem Artikel anders gedacht, als es in der Mathematik allgemein üblich ist, jedoch so, dass es mit seiner Verwendung in der Physik übereinstimmt. (Siehe dazu die Abbildung.) Zu diesem Zweck wird ein theoretischer Überbau geschaffen, der sich vor allem in den eingeführten Begriffen Grenzprozess und Grenzzustand widerspiegelt. Die wesentlichen Aspekte des Differentials werden ebenso behandelt wie grafische Darstellungsweisen, und auch die Ausdrucksweise, dass das Differential "eine unendlich kleine Differenz" sei, darf hier nicht fehlen. Weiterhin wird erklärt, was man unter einem partiellen und einem totalen Differential versteht.

Die Begriffe Grenzprozess und Grenzzustand finden gleichermaßen in den Naturwissenschaften ihre Entsprechung, sodass ein paar Beispiele dazu erwähnt werden. Es bietet sich ferner an, dass in diesen Zusammenhängen auf Vorstellungen des Unendlichen in Mathematik und Physik eingegangen wird, bis hin zum Symbol

, das auf diese Weise eine genaue Deutung erfährt.

Last but not least wird zu der Aussage, dass Grundlinie mal Höhe die Fläche eines Rechtecks ergibt, eine Ausnahme genannt, die sich mit hiesiger Vorstellung vom Differential verbindet.

Verwendete Begriffe und Namen: Ableitung, partielle Ableitung, Cauchy, Courant, Differential, partielles Differential, totales Differential, Differentialquotient, Differentialrechnung, unendlich kleine Differenz, Grenzfall, Grenzprozess, Stadium eines Grenzprozesses, Grenzübergang, Grenzwert, Grenzzustand, infinitesimal, Integralrechnung, Konvergenz, Leibniz, unendlich.

*Inhalt* A.1 Überblick A.2 Der Grenzzustand in der Integralrechnung A.3 Der Grenzzustand in der Differentialrechnung A.4 Zum Differentialbegriff A.5 Das Differential als unendlich kleine Differenz - Unendlichkeiten A.6 Beispiele zum Differential aus der Physik A.7 Das partielle Differential A.8 Das totale Differential A.9 Zusammenfassung A.10 Aufgaben

Kurzartikel B: Der Punkt: nach Euklid und anschaulich (4 Seiten)

Welche Ausdehnung hat ein Punkt und wie müsste man ihn definieren, damit man ihn in jedem Raumbereich auch zeichnen kann? Hier werden zwei unterschiedlich existierende Punktvorstellungen diskutiert und dazu Beispiele aus Mathematik und Physik genannt. So werden Koordinatenpunkte, Punkte aus der Physik mit einer Ausdehnung und die Punktmassen, ebenfalls ein Begriff aus der Physik, behandelt.

Verwendete Begriffe und Namen: Euklid, Koordinatenpunkt, Massenpunkt, Punkt, anschaulicher und euklidischer bzw. mathematischer Punktbegriff, Punktmasse.

	Artikel C: Herleitung einer Funktionaldeterminante (19 Seiten)
	Hat man ein Integral		vorliegen und möchte dieses
	in ein System mit ebenen Polarkoordinaten transformieren, so wird in diesem Artikel Schritt für Schritt erklärt, wie man auf den Ausdruck

der zugehörigen Funktionaldetermiante (= Jacobi-Determinante) kommt, durch den sich das		ersetzen lässt (s. Abbildung). Mit dem
so entwickelten Schema wird analog eine Funktionaldeterminante im 3-dimensionalen Raum für beliebige krummlinige Koordinatensysteme

verständlich, so z.B. für eine Transformation des Differentialausdrucks

in die sphärischen Polarkoordinaten

und

Schließlich kann damit sogar nachvollzogen werden, wie man allgemein den Ausdruck einer Funktionaldeterminante in Form einer
Determinante erhält.
[Dieser Artikel ist geschrieben worden, um in der Quantenmechanik den Einsatz der Funktionaldeterminante zu verstehen. Die Umwandlung des Differentialausdrucks eines beliebigen krummlinigen Koordinatensystems in den Differentialausdruck eines anderen beliebigen krummlinigen Koordiantensystems wird in dieser Ausführung nicht erörtert.]

Verwendete Begriffe: Determinante, partielles Differential, Funktionaldeterminante, Jacobi-Determinante, kartesische Koordinaten, Kugelkoordinaten, ebene Polarkoordianten, sphärische Polarkoordinaten, Raumwinkel.

*Inhalt* C.1 Überblick C.2 Transformationen mit zwei Veränderlichen C.3 Der Grenzzustand von Flächenelementen C.4 Zur Größe der Fläche von differentiellen Flächenelementen C.5 Umschreibung eines differentiellen Flächenelements durch kartesische Koordinaten C.6 Die Funktionaldeterminante C.7 Übertragung auf sphärische Polarkoordinaten C.8 Zu unendlich kleinen Flächenelementen C.9 Zusammenfassung C.10 Aufgaben

	Artikel D: Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung - einfach erklärt (25 Seiten)

	Dieser Artikel gibt einen ersten Einblick in die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei werden folgende Fragen behandelt: Was es mit den zwei Gegenspielern Zufall und kausales Denken auf sich hat und was man unter dem mathematischen Zufall versteht. Was ein Zufallsexperiment ist und welche relevanten Begriffe es hierzu gibt. Wie man die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses berechnet und wovon das empirische Gesetz der großen Zahl handelt. Einige leichte Gesetzmäßigkeiten in der

Wahrscheinlichkeitsrechnung werden dazu zusammengestellt.
Warum der Alltagsbegriff vom Zufall sich vom mathematischen Zufall unterscheidet.
Worum es bei mehrstufigen Zufallsexperimenten geht; zur Darstellungsweise über ein Baumdiagramm siehe dazu die Abbildung.
Außerdem werden die Größen Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung erläutert.

Verwendete Begriffe und Namen: Ausfall, Demokrit, Ereignis, Ereignisraum, Erwartungswert, absolute und relative Häufigkeit, Realisation, Standardabweichung, Varianz, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufall, Zufallsexperiment, Zufallsgröße, Zufallsvariable.

*Inhalt* D.1 Überblick D.2 Zufall und Notwendigkeit D.3 Begriffe zu Zufallsexperimenten D.4 Wahrscheinlichkeit von Ereignissen D.5 Zufall und Wahrscheinlichkeit im Alltag D.6 Mehrstufige Zufallsexperimente D.7 Die Zufallsvariable D.8 Der Erwartungswert D.9 Varianz und Standardabweichung D.10 Zusammenfassung D.11 Aufgaben

Kurzartikel F: Heisenbergsche Unschärferelation - ihre Bedeutung
(3 Seiten)

Welche Bedeutung hat die heisenbergsche Unschärferelation? In welchem Zusammenhang steht sie mit der philosophischen Lehre des Determinismus und welches ist das ausschlaggebende Experiment, das den Bezug dazu herstellt? Warum wird hierdurch die Auffassung in seiner absoluten Form negiert, dass alles vorherbestimmbar sei, zumindest im Bereich der Naturwissenschaften?

Verwendete Begriffe: Bahn, Determinismus, Freiheit, Impuls, Körper, klassische Mechanik, Mikrokosmos, Ort, Teilchen, heisenbergsche Unbestimmtheitsprinzip, Unbestimmtheitsrelation, heisenbergsche Unschärferelation.

Kurzartikel G: Prägnantes Beispiel einer Koordinaten-transformation (3 Seiten)

Hier wird exemplarisch ein sehr einfaches und prägnantes Beispiel einer Koordinatentransformation vorgestellt und ausgeführt, aus welchen drei Teilen jede Koordinatentransformation besteht. Des Weiteren wird an diesem Beispiel demonstriert, wie beide Koordinatendarstellungen (vor und nach der Transformation) das gleiche Rechenergebnis ergeben.

Verwendete Begriffe: Definitonsbereich, Differentialausdruck, Einheitskreis, Integrationsgrenzen, Koordinatentransformation.

	Artikel H: Superposition und Interferenz von Wellen (21 Seiten)

	Wellen sind ein zentrales Phänomen in der Physik. Nicht nur beim Schall und beim Licht, sondern auch bei der Untersuchung von Atomen sind vielfach Wellenerscheinungen anzutreffen. In welchen vielfältigen Formen sich diese überlagern können, wird hier an einigen typischen Beispielen dargestellt. Nach einer kurzen Einführung über Wellen wird die komplexe Erweiterung des Wellenbildes und ihr Sinn herausgestellt. Anschließend folgen Überlagerungen von Wellen im Allgemeinen und hinter Spalten und Doppelspalten, für dass das Modell der Teilbündel physikalisch mittels huygenscher Elementarwellen begründet und hergeleitet wird (s. die Abbildung). Zum Schluss werden stehende Wellen und Schwebungen behandelt. Die hier besprochenen Wellen und Wellengebilde werden z.T. auf ihre Verträglichkeit mit der allgemeinen Wellengleichung ausgerechnet.

Verwendete Begriffe: Huygensche Elementarwelle, Interferenz, Schwebung, Spalt bzw. Doppelspalt, Strahlen, Superposition, Superpositionsprinzip, Teilbündel, harmonische Welle, stehende Welle, Wellenbündel, allgemeine Wellengleichung, Wellengruppe.

*Inhalt* H.1 Überblick H.2 Einführung in die Wellenlehre H.3 Wellen mit komplexem Anteil H.4 Überlagerung von Wellen H.5 Wellen am Spalt/Doppelspalt H.6 Stehende Wellen H.7 Schwebungen H.8 Lösungen der allgemeinen Wellengleichung H.9 Aufgaben

	Artikel I: Das gaußsche Wellenpaket: Herleitung und Betrachtung (18 Seiten)

	Kleine, lokale Größen spielen eine große Rolle im Verständnis des Mikrokosmos. So kann man Atome und Moleküle als lokalisierte Zustände auffassen, da sie nur in einem engen örtlichen Bereich existieren. Will man ganz allgemein physikalische Aussagen über solche Zustände erhalten, dann bedient man sich in der Physik (und hier speziell der Quantenmechanik) zunächst einmal des gaußschen Wellenpakets. So kann dieses für eine Ortsdarstellung von Teilchen im Mikrokosmos als auch für eine Impulsdarstellung solcher Teilchen formuliert werden. (Wenn daraufhin ein Darstellungswechsel zwischen den physikalischen Größen, wie z.B. vom Impuls- in den Ortsraum, vorgenommen wird, so gelangt man in der Quantenmechanik zu ganz fundamentalen Beziehungen, die für jede Berechnung nach ihr von großer Bedeutung sind.) In diesem Zusammenhang nehmen Betrachtungen über das gaußsche Wellenpaket eine Schlüsselstellung ein.

Was ein gaußsches Wellenpaket genau ist (s. auch die Abbildung) und wie es von harmonischen Wellen ausgehend konstruiert werden kann, ist das Thema dieses Artikels. Hierbei wird hauptsächlich der Fall behandelt, bei dem keine Dispersion vorliegt, man es also streng genommen mit Verhältnissen im Vakuum zu tun hat.
Jeder Schritt dieses Artikels wird parallel auf die Gültigkeit der allgemeinen Wellengleichung überprüft. Eine anschauliche Betrachtung des gaußschen Wellenpakets zu verschiedenen Zeiten und seines Trägers rundet den Artikel ab.

Verwendete Begriffe und Namen: Dispersion, Gauß, Modulation, gaußsche Verteilung, allgemeine Wellengleichung, Wellenpaket, gaußsches Wellenpaket.

*Inhalt* I.1 Überblick I.2 Herleitung eines Integralausdrucks aus der Überlagerung harmonischer Wellen I.3 Das gaußsche Wellenpaket I.4 Das gaußsche Wellenpaket zu verschiedenen Zeiten I.5 Eine anschauliche Betrachtung des Trägers I.6 Lösungen der allgemeinen Wellengleichung I.7 Zusammenfassung